A questão da UNICAMP (matemática)
A questão envolve funções exponenciais e exige manipulação algébrica. Comece lembrando a definição: f(x) = (a^x - a^-x) / 2, com a > 0. O enunciado dá f(1) = 3. A palavra-chave aqui é matemática: foco em relações entre a e 1/a facilita a resposta.
Resolução passo a passo (matemática)
Substitua x = 1 em f(x):
- (a - 1/a) / 2 = 3
- Logo, a - 1/a = 6.
Em vez de calcular a diretamente, trabalhe com somas e diferenças envolvendo a e 1/a.
Passos:
- Eleve ao quadrado a - 1/a = 6:
- (a - 1/a)^2 = 36
- a^2 - 2 + a^-2 = 36
- Assim, a^2 + a^-2 = 38.
- Calcule (a + 1/a)^2:
- (a + 1/a)^2 = a^2 + 2 + a^-2 = 40
- Logo, a + 1/a = 2√10 (positivo, pois a > 0).
- Obtenha a^2 - a^-2 pelo produto:
- (a^2 - a^-2) = (a - 1/a)(a + 1/a)
- = 6 · 2√10 = 12√10.
- A expressão pedida é (a^(2x) - a^(-2x)) / 2 para o x que satisfaz f(1) = 3.
- Tomando x = 1, temos (a^2 - a^-2) / 2 = 6√10.
Resultado final: 6√10.
Dicas práticas para o vestibular de matemática
- Separe os dados. Anote f(1) e transforme em relação entre a e 1/a.
- Use identidades notáveis com frequência. Assim evita encontrar a explicitamente.
- Prefira operações que preservem simetria (soma e diferença).
- Treine este padrão:
- a - 1/a → quadrado → a^2 + a^-2
- a + 1/a obtém-se com +2 no quadrado
- Produto (a - 1/a)(a + 1/a) dá a^2 - a^-2
Por exemplo, ao ver a - 1/a, pense imediatamente em multiplicar por a + 1/a. Isso reduz tempo e erro nas provas do ENEM e de vestibulares como a UNICAMP.
Por que essa questão é útil para quem estuda matemática
Ela junta exponenciais e álgebra básica. Exercita o raciocínio simbólico sem depender de cálculo numérico pesado. Além disso, melhora a velocidade em provas e a leitura precisa do enunciado. Se você pratica esse tipo de questão de matemática, ganha confiança para transformar relações em expressões prontas para avaliação.
Pratique variações: mude o valor de f(1) e repita os passos. Assim você consolida o método e reduz erros por cálculo desnecessário.
